Alexandr Beljajev Témavezető: Dr. Roósz András 1. BEVEZETÉS Számos anyagtechnológiai berendezés létezik az egykristályok és más kristályos szerkezetű anyagok előállítására. Ezek három fő fűtési üzemmód szerint csoportosíthatóak: az izotermikus, a gradiens és a zónás fűtési módú berendezésekre (kemencékre). Az anyagtechnológiai kemencék között létezik néhány olyan kemence is, amelyek felépítésüknél fogva képesek a felsorolt üzemmódok közül mindhármat megvalósítani [1]. A három üzemmódban használható kemencéket a szakirodalomban "univerzális" kemencéknek hívják. Miskolci Egyetem Anyagtudományi Intézetében kifejlesztett Univerzális Sokzónás Kristályosító (UMC) fent említett “univerzális” kemencék csoportjába tartozik, melynek neve is azt jelzi. Az UMC sokféle egykristálynövesztő eljárásra alkalmas. Ilyenek az EBSM (Electronic Bridgman-Stockbarger Method), a PVT (Physical Vapor Transport), THM (Traveling Heater Method) és SCC (Single Crystal Casting) módszerek [2]. A kristályosító 24 függetlenül vezérelhető fűtőzónából áll, amelyben a betét megolvasztása, az irányított kristályosítása és hűtése olyan módon zajlik, hogy sem a darab sem a berendezés a folyamat során nem mozog, hanem a számítógépes irányító rendszeren keresztül történik a hőmérséklet profiljának változtatása (zónák hőmérsékleteinek változtatása) a technológiai lépéséknek megfelelően. A zónák irányítása szabályozástechnikailag a legnehezebb feladatok körébe tartozik, mivel a tényleges zónahőmérsékletek ill. a megkívánt zónahőmérsékletek eltéréséből a beavatkozás - fűtőfeszültség - mértékére kell következtetni a végrehajtás következő lépésében. Azonban egy zóna fűtésének megváltozása maga után vonja a szomszédos zónák hőmérsékletének megváltozását, azaz jelentős a zónák kölcsönhatása. Az üzemeltetési tapasztalatok azt mutatják, hogy az UMC irányítási rendszerénél alkalmazott PID - algoritmus nem nyújtja igazán megfelelő megoldást, mivel egyáltalán nem veszi figyelemben a fűtőzónák kölcsönhatásait [3]. Ennek következtében az alkalmozása során nehezen lehet tartani technológia szerint előírt paramétereket. Jelen közlemény az UMC rendszerleírásával illetve többváltozós szabályozási rendszer alkalmazásával foglalkozik, amelyek a fent említett zónák közötti kölcsönhatást is figyelembe veszi, ezzel javítva a szabályozás minőségén, illetve a technológia által előírt paramétereken. A szabályozási algoritmus tervezéséhez illetve hangolásához szükséges a berendezés viselkedését jól leíró modell. A rendszerleírás célja, hogy egy dinamikus rendszerhez, pl. egy szabályozott szakaszhoz meghatározzuk egy matematikai modellt. Ez egyrészt a rendszerben szerepet játszó elemi folyamatok fizikai törvényszerűségeinek leírásával valósítható meg. Másrészt egy kísérleti identifikációval adható meg. A módszer lényege, hogy megadjuk egy egyszerűbb, gyorsabb és elegendően pontos, a szabályozástechnikai céloknak megfelelő matematikai modellt az átviteli rendszer bemeneti-kimeneti kapcsolatának leírásához. A kísérleti identifikáció magába foglalja a be- és kimeneti jelek időfüggvényének mérését, illetve azoknak determinisztikus kiértékelését a matematikai modell felállítása érdekében [4]. A komplikált hőtechnikai berendezések tervezése elképelhetetlen azok modellezése nélkül. Az ABC - projekt fejlesztése során a kemence hőtechnikai modelljét a Fémtani Tanszéken készítették el, amely segítségével vizsgálták a konstrukciós változtatások hatását az új UMC fejlesztése során. A hőtechnikai modell leírásával csak röviden foglalkozom, teljes leírás a modellről a [5] számú irodalomban található. A berendezés több különböző anyagból álló hengerszimmetrikus összetett testként modellezhető, amelyben időben változó hőmérsékletmező jön létre. A fűtőszálak anyaga oxidációjának elkerülése miatt a kemence vákuum alatt működik, ezért a hő csak vezetéssel és sugárzással terjedhet, konvektív hőátvitel nincs. Mivel a kemence henger alakú ezért a felírandó differenciálegyenletek és a peremfeltételek is forgásszimmetrikusak. A modell szempontjából, az előbbiek alapján, a legkedvezőbb ábrázolási mód a hengerkoordináta rendszer. Tehát a kemencében kialakuló hőmérsékletmező két helykoordináta (az r sugár és a z hosszúság) valamint egy időkoordináta (T(r,z,t)) függvénye. A kemence homogén hőtechnikai tulajdonságokkal rendelkező részein lejátszódó hőátvitelt Fourier-differenciálegyenlettel , a heterogén tulajdonságokkal rendelkező részein lejátszódó hőátvitelt ún. peremfeltételi egyenletekkel írható le Az egyenletek a bonyolultságuk miatt csak numerikusan oldhatók meg. Itt az explicit véges differencia módszert használták az egyenletek megoldására. A modell alapján egy számítástechnikai program készült, amely segítségével a berendezés hőmérsékletmezője bármely kívánt időpontban kiszámítható. Ezt a programot felhasználva elkészült a hőtechnikai modellnek egy olyan változata [6], amely használható a Matlab szoftvercsomag környezetében (2.1. ábra), mivel a Matlab lehetővé teszi számos szabályozási algoritmus modellezését, tesztelését és nyert eredmények kiértékelését anélkül, hogy sok időt töltenénk programozással. Az eddig említett előnyökkel szemben hátrány, hogy a Matlab egy interpreter típusú fejlesztő rendszer, így a számítási gyorsasága lényegesen kisebb, mint a gépi forráskódot használó fejlesztőrendszereknek. A futtatások lassúsága főleg olyan rutinok esetén szembetűnő, ahol hosszú programciklusok találhatók. Ennek kiküszöbölésére lehetőség van a Matlab programba C forrásnyelven írt “dll” kiterjesztésű, dinamikusan kapcsolt fájlok beágyazására, s így lényegesen gyorsítható a program futása, akár többszörösére. Ehhez először a Pascal forráskódot Visual C++ formátumura alakítottuk, majd ezt fordítottuk be Matlab alá. Az átdolgozott számítási program lényegesen gyorsabb lett Pascal nyelven írt programnál, mivel már 32 bites, illetve 64 bites műveletvégzést használ. A Matlab összeköthető a Simulink szoftverrel, melyben könnyen és gyorsan lehet egyszerűbb programokat megírni, az objektumorientált programozást lehetővé tevő grafikus programozási felületnek köszönhetően. Ezt kihasználva vizsgáltam különböző szabályozási algoritmusokat (PID különböző változatait és azok különböző hangolási módszereit, illetve többváltozós algoritmusokat). A vizsgálatok azt mutatják, hogy a különböző SISO típusú szabályozási algoritmusok (PI, zavarkompenzációs PID, BLT (Biggest Log Modulus) PD ) nem adtak megfelelő megoldást. A többváltozós algoritmusok vizsgálataikor az INA típusú algoritmus a Matlab környezetében kialakított modellen való futtatások során jobb eredményeket adott, mint fent említett egyváltozós algoritmusok, aminek tervezésével 1.melléklet foglalkozik. Sajnos a kifejlesztett hőtechnikai modell csak jelentős változtatások után tudja jól az új UMC viselkedését leírni. E változtatások új matematikai és programozási technikát igényel. Ezeknek kidolgozásához sok idő szükséges ,emiatt a kísérleti modell kialakítása mellett döntettem.
2.1.ábra Az UMC modellje a Matlab kőrnyezetében A kísérleti modell meghatározása tételesen részletezve a következő lépésekből áll:
Az UMC szabályozástechnikai szempontból egyszerűsített MIMO modelljét az 2.2 ábrán látható.
2.2. ábra Az UMC szabályozástechnikai szempontból egyszerűsített MIMO modellje Ahol: T = [T1, T2, .... , T24]T - a szabályozott jellemzők oszlopvektora; U = [U1, U2, .... , U24]T - a fűtőfeszültség ( mint bemenőjelek) oszlopvektora; G(s) - átviteli mátrix, amely 24 x 24 elemet tartalmazó kvadratikus mátrixot jelent; A G(s) átviteli mátrix következő alakban adható meg:
ahol A berendezés viselkedésének megállapítására a következő vizsgálatokat végeztem. A zónák felfűtési illetve lehűlési karakterisztikáinak felvétele: Különböző fűtőfeszültséget bekapcsolva, valamennyi zónának hőelem kimenőjelét regisztráltam, amelyek alapján a 2.3. ábrán látható hőmérséklet-eloszlásokat kaptam, illetve fűtési görbéket (2.4. ábra). A berendezés lehűlési karakterisztikáit a 2.5 ábra mutatja.
2.3 ábra. Hőmérséklet - eloszlások
2.4. ábra 12. zónának felfűtési karakterisztikai
2.5. ábra Lehűlési görbék Mivel a többi zónáknak hasonló jellegű felfűtési, ill. lehűlési görbei, úgy ezeknek bemutatását mellőzöm. A kapott görbék alapján a berendezés viselkedését következőképpen jellemezhető:
A zónák kölcsönhatási karakterisztikáinak felvétele: A nem egyenletes fűtés alkalmazásával vizsgáltam a zónák egymásra hatását 2.6 ábra mutatja a berendezésben kialakult hőmérséklet-eloszlást, illetve 2.7 ábra mutatja a fűtési karakterisztikákat. A kemence nemlineáris volta miatt csak adott munkapontban meghatározható a modellje. Ezért a kemence átviteli mátrixát 1000°C-os munkapontra határoztam meg. A G(s) átviteli mátrix elemeinek meghatározása következőképpen történt:
eleme egytárolós arányos függvénynek tekinthető, amelynek következő alakja 
Az átviteli mátrix paramétereit az A és T mátrix tartalmazzák.
3.6 ábra Hőmérséklet-eloszlás nem egyenletes esetén
3.7 ábra Fűtési karakteriszák nem egyenletes fűtés esetén. (A 3.7 ábra megtekintéséhez kattitson ide) 3. SZABÁLYOZÁSI ALGORITMUSOK ÉS TERVEZÉSE A vizsgálataim során két típusú szabályozási rendszert terveztem. 3.1 SISO (SINGLE INPUT SINGLE OUTPUT) ALGORITMUS
3.1. ábra i-adik zónára vonatkozó szabályozási kör A PI- algoritmus a kővetkező alakban irható fel:
ahol: Pi - erősítés, Ii - integrálási állandó, ei - rendelkező jel azaz, alapjel-és szabályozott értékek különbsége. PI szabályozók hangolását Ziegler-Nichols módszer [8] segítségével a megalkotott modell alapján végeztem. 3.2 MIMO ALGORITMUS (MULTI INPUT MULTI OUTPUT) [9] A MIMO rendszernek blokkdiagramját az 3.2. ábra mutatja ,ahol K(s), G(s) az átviteli mátrixok , illetve r , y a be- és kimenetek oszlopvektorai. A MIMO blokk-diagramalapján a következő egyenlet rendszer irható fel: y = K(s)G(s)r , (3.2.) y = K(s)G(s)e= K(s)G(s)(y-r)=K(s)G(s)y-K(s)G(s)r (3.2.) - ből, (I+K(s)G(s))y(t)=K(s)G(s)r(t), (3.3.) és ha (I+K(s)G(s)) determinánsa nemzérus, akkor y(t)=(I+K(s)G(s))-1 K(s)G(s)r(t), (3.4.)
3.2. ábra Az UMC többváltozós szabályozási rendszerének hatásvázlata A G(s) átviteli mátrix alapján K(s) mátrixot meghatároztam az INA módszerrel, amelynek leírását a 1. melléklet tartalmazza. A megtervezett szabályozási algoritmusokkal Ge egykristálynövesztési kísérletek történtek, amelyeknek adatai alapján következtetni lehet a szabályozások minőségére. Germánium egykristály növesztése esetén a betét megolvasztása, az irányított kristályosítás (egykristálynövesztés) és a betét hűlése oly módon történik, hogy sem a darab sem a kemence az eljárás során nem mozog, azaz a hőmérséklet profilt változtatjuk a technológiai lépéseknek megfelelően. Az egykristály növesztése során kialakult hőmérséklet-, illetve a teljesítmény- eloszlások a két szabályozó esetén a 4.4. , illetve 4.5 ábrán láthatóak.
4.4. ábra
4.5. ábra Látszólag mindkét szabályozó jól követi az előírt alapjelet, viszont ez csak szubjektív megítélés (vizuális). A mérnöki gyakorlatban jósági kritériumokkal szokás alkalmazni a szabályozási rendszer minőségének megítélésére. Az egykristály gyártása során a legfontosabb szakasz az irányított kristályosítás, mivel itt legjobban kell tartani az előírt hőmérséklet-értékeket. A szabályozók minőségének megítélésére az irányított kristályosítás során a kővetkező kritériumot alkalmaztam:
ahol: T(k,j) k-adik zónának j-edik időpontban mért értéke Ts(k,j) k-adik zónának j-edik időpontban előírt értéke A regisztrált adatok alapján a kritérium segítségével kővetkező értékeket számoltam. PI esetén: Fpi=0.9456 MIMO esetén: Fmimo=0.8167 A kapott értékek alapján látható, hogy MIMO jobb eredményeket adott, mivel Fmimo kisebb, mint Fpi. (kb. 8%-kal kisebb ). Ez annak köszönhető, hogy az új szabályozási algoritmus a zónák közötti kölcsönhatásait is figyelembe veszi, ezáltal a zónák által felvett teljesítmény-eloszlás simább, mint a másiké(4.4. és 4.5.ábra), amiatt az új algoritmus alkalmazásával az UMC jobb irányíthatóvá vált. 5. IRODALOM [1] B. Feuerbacher, H. Hacher, R.J. Naumann: Materials Sciences in Space, Springer - Verlag, Berlin, 1986. p.227-267. [2] N. Babcsán, P. Bárczy, D. Gillis, C.H. Su, A. Roósz, T. Roósz, D. Watring: UMC: four methods by one apparatus, THIRD UNITED NATIONS CONFERENCE ON THE EXPLORATION AND PEACEFUL USES OF OUTER SPACE 1999 July 19-30, Wien [3] I. Gyuricza, P. Makk, Cs. Raffay: Az Univerzális Sokzónás Kristályosító berendezés irányító rendszerének fejlesztése. DCS, 1995. p. 30-40. [4] HÜTTE: A mérnöki tudományok kézikönyve, Springer - Verlag , 1993. p I 68 [5] A. Roósz, B. Tolvaj, J. Szőke, T. Roósz: UMC űrkemence továbbfejlesztése (részjelentés), Miskolc 1996 december [6] I. Simon, A.V. Beljajev: Thermal Model of Universal Multizone Crystallizator MicroCAD’98 International Computer Science Conference. 25. - 26. Febr. University of Miskolc, Hungary. [7] L. Ljung: System Identification, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1987. [8] Bánhidi László - Oláh Miklós - Gyuricza István - Kiss Mátyás - Rátkai László - Szecső Gusztáv: Automatika mérnököknek, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. [9] P.B. Deshpande: Multivariable Process Control, Instrument Society of America , 1989. MIMO rendszerek áttekintése [9] Ha az 1.1.ábrán látható MIMO rendszer irányítható és megfigyelhető, akkor érvényes
1.1.ábra MIMO szabályozási rendszer általános vázlata a következő mátrixegyenlet, amelyben a rövidebb írásmód kedvéért az s komplex változót nem tüntetjük fel: Xs = W[Xa-Xs] = WXa -WXs (1.1.) ahol: Xs = [Xs1, Xs2, .... , Xsn]T - a szabályozott jellemzők oszlopvektora; Xa = [Xa1, Xa2, .... , Xan]T - az alapértékek ( mint bemenőjelek) oszlopvektora; W - átviteli mátrix, határozott rendszerekben(a bemenő és kimenőjelek száma azonos) n x n elemeket tartalmazó kvadratikus mátrixot jelent; Mivel általában feltételezhetjük, hogy minden egyes bemenőjel hat az összes kimenőjelre ( kapcsolt szabályozások), egy-egy kimenőjel több komponensből tevődik össze. Az (1.1.) egyenletet Xs - re megoldva Xs = [I + W]-1WXa (1.2.) adódik, feltéve, hogy [I + W] reguláris mátrix (det([I + W]) 1 0), ahol I - n x n méretű egységmátrix. Definiáljuk a zárt rendszer átviteli mátrixát a következők szerint F=[I + W]-1W (1.3.) az egyváltozós rendszerekben követett meggondolással, de figyelembe véve, hogy ez esetben F nem értelmezhető Xs/Xa hányadosaként. Az (1.3.) kifejezéssel így a (1.2.) egyenlet Xs=FXa (1.4.) alakban írható. MIMO rendszerekben az egyes szabályozási körök, akkor függetlenek egymástól, vagyis az első bemenőjel ( alapérték ) csakis az első szabályozott jellemzőt befolyásolja, a második csakis a másodikat stb., ha zárt átviteli mátrixa átlós mátrix. Ez viszont akkor teljesül, ha W átlós mátrix (szétcsatolt rendszer), azaz a főátlóján kívüli elemek zérusok, Wij= 0, ha i 1 j Sok esetben MIMO szabályozásoknál a szétcsatolt (autonóm) körkialakítás nem a legmegfelelőbb üzemmódot hozza létre, sőt a technológiai folyamat szempontjából ellenmondásos is lehet. Ilyenkor a megfelelő szabályozási minőség, esetleg optimalizálás a szabályozott jellemzőkből képzett funkcionál alapján valósítható meg. Felesleges minden egymásra hatást
megszüntetni, elégséges és a gyakorlatban is megvalósítható
kialakítást jelent W(s)=K(s)G(s) tekintetében
a diagonálisan domináns jelleg biztosítása,
azaz olyan forma megkeresése, amelyben az W(s) átlós elemének abszolút
érteke nagyobb a megfelelő sorban ( vagy oszlopban) lévő
összes elem abszolút értékeinek az összegénél (pl.
diagonálisan sordomináns esetben Ez fizikailag annyit jelent, hogy az egymásra hatások összessége kisebb a főhurok hatásánál. Nagyobb változószámú szabályozási rendszereknél szinte kizárólagosan a pszeudodiagonizálás nyújt szisztematikus módszert, aminek során minimalizáljuk néhány kiválasztott vagy több diszkrét körfrekvencián W(s) nem diagonális elemei abszolút értékeinek az összegét, esetleg négyzetösszegét. Pszeudodiagonizálás [8] Néhány s = jw értéket megválasztunk
és vizsgáljuk
ahol Úgy kell megválasztanunk a
célfüggvényt (a nem diagonális elemek abszolút értéke négyzetének összegét) minimalizáljuk, mégpedig úgy, hogy közben a következő feltétel teljesüljön:
Ilyenkor minimalizáljuk a
célfüggvényt. A parciális deriválás és a nullával egyenlővé tétel után a következő egyenlet kapható:
Vezessük be a következő vektort és mátrixot:
Aj szimmetrikus válós és pozitív semi definit mátrix, azaz a mátrix sajátértékei válós és nem negatívak. A (2.6.) és (2.7.) figyelembevitelével (2.5.) a következő alakban irható:
vagyis l Aj sajátértéke
és
Vagyis a Geshgorin - kör sugara a Aj mátrix l sajátértékével egyenlő. Tervezéskor tehát a legkisebb l választandó ki. A különböző Összefoglalásként az eljárás menete a következő:
Copyright © 2000 |
átviteli függvény.
, (3.1)
(4.1)
).
j-edik sorát , ahol 
konstans mátrix. A j-edik sor k-adik
eleme a következőképpen kapható meg:
, (2.1.)
.
elemeket, hogy
ezek a
(2.2.)
. (2.3.)
(2.4.)
, l = 1, 2, ... ,m (2.5.)
(2.6.)
(2.7.).
j =1,2, ...m (2.8.)
a Aj mátrix sajátvektora.
Ha (2.8.) kifejezést (2.2.) - be helyettesítjük, akkor
a Gershgorin - kör sugarát kapjuk meg a következő értékkel:
.